Desigualdades

Lista de exercícios de Desigualdades

 1. Resolva a seguinte desigualdade exponencial:

1éx2- 2x≤ e 

Solução

Estabelecendo os as condições de existência:

C.. E.

x ≠ 0 

Sabemos que sendo a constante Neperiana, não é zero.é , sendo a constante de Napier, é diferente de zero.

Mudando o sinal para o expoente de $ e $, podemos inverter a fração:é podemos inverter a fração:

é-x2- 2x≤ e 

Resolvemos de acordo com a regra  ^ x <b ^ y para  x <y e para   ax<by   → x < y  

-x2- 2x≤ 1 

-x2- 2x- 1 ≤ 0 

-x2+ 2 - xx≤ 0 

Dessa forma

Não.≥ 0 → -     x2+ 2 - x ≥ 0 

Vamos passar para a equação associada:

x2+ 2 - x = 0

Resolvemos com a fórmula $ x = frac (-b ± sqrt (b ^ 2 - 4ac)) (2a) $:x =- b ± b2- 4 a c------√2 a   :

x =- 1 ± 12- 4 ⋅ ( - 2 )----------√2=- 1 ± 1 + 8-----√2=

- 1 ± 9-√2= - 1 ± 3 2

x1=- 1 + 32= 1 ,         x2=- 1 - 32= - 2

Como a desigualdade é menor ou igual a zero, tomamos como soluções os intervalos dentro das raízes:

S.: - 2 ≤ x ≤ 1  

D > 0 → x > 0    

Vamos agora passar ao estudo do sinal entre o numerador e o denominador:

 

 

As soluções são dadas pelos intervalos negativos:

S.: - 2 ≤ x < 0 ∨ x ≥ 1      

 

2. Encontre as soluções para a seguinte desigualdade:

x2- 1----√< x + 3

Solução

Uma vez que o radical é menor que um determinado valor, necessitamos estabelecer um sistema de três desigualdades como este:

⎧⎩⎨⎪⎪x2- 1 ≥ 0x + 3 > 0(x2- 1----√)2< ( x + 3)2

Vamos começar resolvendo a primeira desigualdade:

x2- 1 ≥ 0

Vamos passar para a equação associada e determinar as soluções:

x2- 1 = 0

x2= 1 → x = ± 1    

Tomamos como soluções os intervalos fora das raízes, uma vez que a desigualdade é maior ou igual a zero:

S.: x ≤ - 1 ∨ x ≥ 1     

A segunda desigualdade é de resolução imediata:

x + 3 > 0 → x > - 3    

Vamos agora para o terceiro:

(x2- 1----√)2<( x + 3 )2

x2- 1 <x2+ 9 + 6 x

x2- 1 -x2- 9 - 6 x < 0

- 10 - 6 x < 0

- 6 x < 10 → 6 x > - 10     

x > -106  → x > -  53

Vamos voltar ao sistema e determinar suas soluções:

⎧⎩⎨⎪⎪x ≤ - 1 ∨ x ≥ 1x > - 3x > - 5 / 3

 

 S.: - 53< x ≤ - 1 ∨ x ≥ 1     

 

S.: - 2 ≤ x < 0 ∨ x ≥ 1