Exercícios de Trigonometria ENEM BNCC

 Exercícios de Trigonometria

Habilidade da BNCC:

(EF09MA06) Compreender as funções como relações de dependência unívoca entre duas variáveis e suas representações numérica, algébrica e gráfica e utilizar esse conceito para analisar situações que envolvam relações funcionais entre duas variáveis.

Objetos do conhecimento: Funções: representações numérica, algébrica e gráfica; Razões trigonométricas nos triângulos retângulos; Resolução de triângulos não retângulo: Lei dos Senos e Lei dos Cossenos e Funções trigonométricas.

1) Um canteiro tem forma de triângulo equilátero (ABC), com lados medindo 7m. A uma distância de 1m do vértice B, uma pessoa inicia o processo de colocar algumas estacas no bordo do canteiro. Após esticar uma corda perpendicularmente até o lado AC, colocou uma segunda estaca no Q. A seguir, continuou com a corda perpendicularmente a AB, colocando a estaca em R e, numa terceira etapa, de R perpendicularmente a BC, chegando à estaca S. Qual a distância entre as estacas P e S?

a) Resolva-a como se fosse um aluno de 1º ano do Ensino Médio, indicando cada passagem:

b) Resolva-a por dois outros caminhos:

Do enunciado, temos:

Â= ^B = ^B =60°

A =B= C=60°

PC = BC= BP = 7 -1 =6

Agora, analisando o triângulo PCQ:

^C = 60° => Q^PC = 30°

SIN 30° = ½ => CQ = PC/2 = 3

CQ = 3 => AQ =4

Analisando o triângulo ARQ:

 = 60° => A^QR = 30°

SIN 30° = ½ => AQ/2 =2

AR = 2 =>5

Analisando o triângulo:

2) Na figura abaixo as três circunferências, que se tangenciam duas a duas, tocam as retas r e s: 

Se o raio da maior das três circunferências mede 4 cm, determine a distância do ponto A ao ponto mais afastado da última circunferência. 

Pode proceder de modo completamente analítico. Coloquemos a origem do referencial no ponto A e designemos por x_1 a distancia do ponto A ao centro da maior circunferência. Deste modo a equação dessa circunferência será . Sabemos também que essa circunferência é tangente à reta r, de equação , pelo que a equação  deve ter apenas uma solução. Obrigando o discriminante dessa equação quadrática a ser nulo (para existir apenas uma solução) conclui-se que . Deste modo já se encontra completamente determinada a maior circunferência: centro em (-8,0) e raio 4.

Passemos agora à segunda circunferência. Sabemos que a sua equação é da forma  e que intersecta o eixo dos x no ponto -4. Para o ponto (-4,0) pertencer à circunferência devemos ter . Por outro lado, os pontos de intersecção com a reta r verificam

Novamente, calculando x_2 de modo à equação apenas ter uma solução, obtemos  e portanto . fica assim determinada a segunda circunferência: centro em (-8/3 , 0) e raio 4/3.

Para a última circunferência procedemos como para a segunda. Sabemos que a sua equação é  e que, passando no ponto (-4/3,0) se tem . Os seus pontos de intersecção com a reta r verificam

Exigindo que exista apenas um ponto de intersecção obtemos  e , pelo que a última fica também determinada, tendo centro em (-8/9,0) e raio 4/9.

Tendo os raios e centros de todas as circunferências já pode responder facilmente à questão.

Pelas características do desenho, o ponto mais distante do ponto A e que pertence à circunferência maior está sobre a reta bissetriz do ângulo de 60 graus dado. Essa bissetriz passa pelos centros das três circunferências até interceptar a maior no seu ponto mais distante do ponto A (pode-se provar esse resultado).

Se você marcar um ponto B, por exemplo, numa das tangentes à circunferência maior você terá um triângulo retângulo, cujo raio ligando o centro dessa circunferência maior ao ponto de tangencia, que mede 4, é o cateto oposto ao ângulo de 30 graus (metade por causa da bissetriz). A hipotenusa desse triângulo vai de O até A e mede:

O ponto mais distante mede a hipotenusa mais um raio, isto é: .

3)  Uma figura no formato de cruz, formada por quadrados de lado 1, está inscrita em um quadrado maior, cujos lados são paralelos aos lados do quadrado tracejado, cujos vértices são vértices da cruz. Qual é a área do quadrado maior? 

Resposta 1) A área desses triângulos é : A = 1/2 x 2 x 1 = 1. Como são 4 triângulos que formam o quadrado tracejado, sua área será: A= 4x1 + 1 = 5 (área do quadrado tracejado). 

Os 4 triângulos retângulos, externos ao quadrado tracejado, são semelhantes e têm um de seus vértices tocando o quadrado maior. Os catetos desses triângulos medem 1, o maior, e 1/2, o menor. Para esses triângulos valem as relações: hipotenusa/ cateto maior. Traçando uma perpendicular do quadrado tracejado até o vértice do retângulo temos a altura do triângulo, então: 

(1/2)/h = base/1 ----- h.base = 1/2 . A base, que chamaremos de a é calculada por Pitágoras: 

a² = 1² + (1/2)² ------ a² = 1 + 1/4 ---- a² = 5/4 ---- a = V5/2 

h. V5/2 = 1/2 ------- h = 1/V5 = V5/5 

O lado do quadrado maior é 2h + lado do quadrado tracejado (= V5, pois a área é igual a 5). Logo: 

L = 2 x V5/5 + V5 = (2V5 + 5V5)/5 = 7V5/5 

A área do triângulo maior será, portanto: A = (7V5/5)² = 49x5/25 = 49/5 

4) Determine a tangente do ângulo DÊA, sabendo que E é o ponto médio do lado BC no quadrado ABCD. 

Resposta incerta

tg x = cat.oposto / cat.adjacente 

Logo, como E é o ponto médio do outro lado horizontal do quadrado, o cateto oposto ao ângulo medido por 'a' mede metade do lado do quadrado. Seja L a medida do lado do quadrado: 

cat.oposto = L/2 

O cateto adjacente é paralelo ao lado vertical do quadrado, isto é, mede L: 

cat.adjacente = L 

então: 

tg a = cat.oposto / cat.adjacente 

tg a = (L/2) / L = 1/2