Condição de Existência Equação do Segundo Grau

 

Determine as condições de existência da seguinte equação: x2- (2k + 1- 1 ) x -2k + 1+ 1 = 0

x2- (2k + 1- 1 ) x -2k + 1+ 1 = 0

 

Desenvolvimento

Para que a equação tenha significado, ela deve ser $ ∆ ≥ 0 $, então:Δ ≥ 0  , portanto:

b2- 4 a c ≥ 0 

[ - (2k + 1- 1 ) ]2- 4 ⋅ ( -2k + 1+ 1 ) ≥ 0 

(2k + 1)2+ 1 - 2 ⋅2k + 1- 4 - 4 ⋅ ( -2k + 1) ≥0 

22 k + 2+ 1 -2k + 1 + 1-22-22⋅ ( -2k + 1) ≥0 

22 k + 2+ 1 -2k + 2-22+22 + k + 1≥ 0 

22 k + 2-2k + 2+2k + 3- 3 ≥ 0 

Vamos analisar os poderes:

22 mil⋅22-2k⋅22+2k⋅23- 3 ≥ 0 

Fazemos uma mudança de variável, definindo $ 2 ^ k = y $:2k= y :

y2⋅22- y⋅22+ y⋅23- 3 ≥ 0 

4y2- 4 anos+ 8 anos- 3 ≥ 0 

4y2+ 4 anos- 3 ≥ 0 

Passamos para a equação associada e resolvemos com a fórmula reduzida $ x = frac (-b / 2 ± sqrt ((b / 2) ^ 2 - ac)) (a) $:x =-b2± (b2)2- para c-------√para   :

4y2+ 4 anos- 3 = 0

y=-42± (42)2- 4 ⋅ ( - 3 )------------√4=- 2 ± 4 + 12-----√4=

- 2 ± 16--√4= - 2 ± 4 4

y1=- 2 + 44=12    ,     y2=- 2 - 44= -32

Como a desigualdade é maior ou igual a zero, tomamos como soluções os intervalos fora das raízes:

y≤ - 32  ∨ y  ≥ 12

Sabendo que $ 2 ^ k = y $, temos que:2k= y , temos que:

2k≤ - 32  ∨  2k≥ 12

Vamos analisar os intervalos individuais:

2k≤ - 32           IMPOSSÍVEL

a desigualdade é impossível, pois se a base for positiva, uma potência nunca pode ser negativa. Também lembramos o gráfico da função exponencial, para a qual o eixo das abcissas é uma assíntota horizontal.

2k≥ 12  →  2k≥ 2- 1  → k ≥ - 1