Exercícios de Trigonometria

Exercícios de Trigonometria 

 

1. Resolva as seguintes equações trigonométricas:

a)

b) , para

c)

d) para

e) , para

Solução a:

O seno da razão trigonométrica aparece nesta equação, aplique as transformações que permitem expressar todas as razões com o mesmo argumento.

• 

  (Você o substitui por sua identidade)

  (Você iguala a equação a zero)

• Embora a equação tenha duas razões trigonométricas, ela já pode ser resolvida por se tratar de binômio podendo ser fatorado.

  (Você extrai o fator comum )

  (Você iguala cada fator a zero e resolve)

• Resolva as equações obtidas.

  para no intervalo principal.

  Não tem solução, pois o cosseno de um ângulo assume valores de -1 a 1.

• Como nesta parte nenhuma restrição é declarada para o argumento, deve-se escrever as infinitas soluções que a equação possui, ou seja, somar os ângulos das soluções principais. Isso é feito adicionando a cada ângulo principal . No entanto, é bom que analise as soluções desta equação se são múltiplos de . Então, essa resposta pode ser agrupada assim:

  .

Solução b:

, pra

• Como um cosseno linear de argumento aparece na equação , a equação deve ser expressa em termos da razão do cosseno.

  (Aplique no membro esquerdo a identidade para relacionado ao cosseno levando em consideração os parênteses precedido por um sinal de menos e no membro direito, a identidade do )

  (Você remove os parênteses)

  (Você iguala a equação a zero e reduz os termos semelhantes)

• Resolva a equação quadrática resultante.

  (Você extrai o fator comum)

  (Você iguala cada fator a zero)

• Como as equações são iguais a 0 e 1, as soluções são encontradas na tabela:

  , pra

  , pra

• Como a equação tem um intervalo de restrição para o argumento, os ângulos coterminais não são adicionados, mas é necessário verificar quais ângulos estão dentro do intervalo determinado.

  Asolução da equação, os ângulos é .

  

Solução c:

• Nesta equação, a função da razão senoidal e com um argumento não necessita aplicar nenhuma identidade. Para resolver, pode-se eliminar o denominador.

  

  (Você multiplica por um valor diferente de zero)

• Você resolve a equação quadrática resultante.

  (Você equaliza a equação para zero)

  (Você fatora o trinômio quadrado perfeito)

  (Você define a base para zero)

  (Autorizações )

• Como a equação é igual a 1:

  , pra

• Como a equação original tem um denominador , é necessário verificar se a solução encontrada não o torna zero. Nesse caso, isso não acontece.

  Além disso, como a equação não tem intervalo de restrição para o argumento, é necessário adicionar os ângulos ao conjunto de solução.

  

Solução d:

pra

• Como a equação tem um denominador,  é necessário multiplicar a equação por para eliminá-la; no entanto, pode-se aplicar sua identidade para transformar a equação e obter:

  (substitua o membro esquerdo e por suas respectivas identidades para a razão trigonométrica do membro direito)

  

  (simplifique)

  (reduza os termos semelhantes)

  

• Para resolver a equação resultante,  é necessário encontrar a solução nos quadrantes onde o cosseno é positivo.

  O cosseno é positivo nos quadrantes I e IV:
  

  para .

    .

• Como a equação tem um denominador , é necessário verificar se ele existe e não é zero para as soluções encontradas.

  Além disso, como a equação tem um intervalo de restrição para o argumento, é necessário que se escreva a solução sem adicionar os ângulos.

  

Solução e:

, pra

• Para resolver esta equação é necessário substituir no membro esquerdo e por suas respectivas identidades. Além disso, no lado direito é possível aplicar a identidade fundamental trigonométrica , uma vez que os argumentos do seno e do cosseno são iguais.

  (substitua as identidades identificadas)

  (Encontrando o recíproco da fração divisora)

  (Simplificando a expressão)

  

  (Etraia a raiz quadrada)

  (Como há uma raiz quadrada no denominador, racionalize a expressão)

  

• Resolva as equações:

  Y

  No caso da equação , o cosseno é positivo nos quadrantes I e IV , mas as soluções nesses quadrantes estão fora do intervalo de restrição e não é necessário procurá-las.

  Para a equação , o cosseno é negativo nos quadrantes II e III , as soluções devem ser encontradas aplicando as fórmulas de redução correspondentes.

  Solução no quadrante II :

  Solução no quadrante III : 

  Como a equação tem um denominador , você deve verificar se as soluções encontradas não o cancelam. Nesse caso, nenhuma das duas soluções o torna zero e, além disso, como a equação possui um intervalo de restrição, os coterminais não são somados às soluções principais.

• 

2. Em um trapézio escaleno ABCDas bases medem AB=53–√+21 e CD=9. Sabendo que o ângulo em B é de 60∘ e que cosDˆ=−513, calcule o comprimento dos lados oblíquos:

1. AB=53–√+21CD=9
2. α=60∘
3. cosDˆ=cosβ=−513
4. DA=?CB=? 

PROCEDIMENTO:

O ângulo  gamma do triângulo CFB

mede:

 gamma=180 circ−60 circ−90 circ=30 circ

Além disso, para as fórmulas nos ângulos associados, podemos escrever:

cosβ=cos(90∘+δ)=−sinδ=−513⇒sinδ=513

Aplicamos o teorema do seno aos triângulos AEDe CFB:

{AEsinδ=DAsin90∘FBsinγ=FCsinα

Observando:

FB=AB−AE−EF=53–√+21−9−AE=5+3–√+12−AE

e que,

FC=ED=DA2−AE2−−−−−−−−−−√

O sistema anterior pode ser reescrito da seguinte forma:

⎧⎩⎨⎪⎪AE513=DA5+3√+12−AEsin30∘=DA2−AE2√sin60∘⇒⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪DA=135AE5+3√+12−AE12=16925AE2−AE2√3√2

Desenvolvendo a segunda equação do sistema, obtemos:

5+3–√+12−AE=169−2525AE2√3√=125AE3√=1253√AE⇒⇒12+53√53√AE=53–√+12⇒AE=53–√

Substituímos na primeira equação do sistema o valor de AE obtendo assim o primeiro lado oblíquo DA:

DA=135AE=13553–√=133–√

Calculamos FB:

FB=53–√+12−AE=53–√+12−53–√=12

Finalmente, aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo CFB obtemos o outro lado oblíquo CB:

 

CB=CF2+FB2−−−−−−−−−−√=144⋅3+144−−−−−−−−−−√=24

 

CB=CF2+FB2−−−−−−−−−−√=144⋅3+144−−−−−−−−−−√=24 

 

 

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